ГАИ действительно уплату штрафов не отслеживает.
Могут подать в исполнительную службу. Тогда там покажешь квитанцию.
Раньше стоило заносить копии квитанций в админпрактику ГАИ, чтобы они убрали долг из базы, но с отменой техосмотра это стало не очень актуально.
Принесешь туда все квитанции скопом, когда захочешь снимать с учета или регистрировать машину.
Квитанции хранить вечно!